Databasen Per - Siste endringer [no]

Trekanter

2012-05-15T13:10:50Z

Sirkellikningen

2012-05-15T13:05:44Z

Fil:Sirklign.png

2012-05-15T12:52:08Z

lastet opp «[[Fil:Sirklign.png]]»

Sirkellikningen

2012-05-15T12:40:17Z

Sirkellikningen

2012-05-15T12:38:27Z

Ny side: Et punkt P har koordinatene <tex>(x_p,y_p)</tex>. en vektor har lengden a, og en vilkårlig rettning. Vektoren ender i punktet S som har koordinatene (x,y).

Ny side

Et punkt P har koordinatene <tex>(x_p,y_p)</tex>. en vektor har lengden a, og en vilkårlig rettning. Vektoren ender i punktet S som har koordinatene (x,y).

R1 Hovedside

2012-05-15T12:35:34Z

Vektorer::

Trekanter

2012-05-15T11:05:20Z

Cevas setning:

Fil:Cevas.png

2012-05-15T10:48:06Z

lastet opp «[[Fil:Cevas.png]]»

Bruker:Ann Cathrine

2012-05-15T10:33:31Z

Ny brukerkonto

Punktets potens

2012-05-15T10:32:07Z

Fil:Punktpotens2.png

2012-05-15T10:28:58Z

lastet opp «[[Fil:Punktpotens2.png]]»

Punktets potens

2012-05-15T10:24:39Z

Punktets potens

2012-05-15T10:19:47Z

Ny side: Fil:Punktpotens.png Et punkt P ligger utenfor sirkelen. To rette linjer krysser hverandre i P og skjærer sirkelpereferien i A, B, C og D.

Ny side

[[Fil:Punktpotens.png]]
Et punkt P ligger utenfor sirkelen. To rette linjer krysser hverandre i P og skjærer sirkelpereferien i A, B, C og D.

Fil:Punktpotens.png

2012-05-15T10:16:43Z

lastet opp «[[Fil:Punktpotens.png]]»

R1 Hovedside

2012-05-15T10:11:27Z

Geometri:

Bruker:Ola.Jacob

2012-05-12T14:38:40Z

Ny brukerkonto

Parameterfremstilling

2012-05-11T14:26:36Z

Innledning:

Hovedside

2012-05-10T15:56:11Z

Parameterfremstilling

2012-05-10T12:50:35Z

Parameterframstilling av en rett linje:

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
@@ Linje 50: / Linje 34: @@
 == Stompvinklet trekant ==
 == Omsenter ==
 [[Bilde:omsenter.png]]

← Eldre revisjon		Revisjonen fra 15. mai 2012 kl. 13:05
(2 mellomrevisjoner av én bruker vises ikke)
Linje 1:		Linje 1:
−	Et punkt P har koordinatene <tex>(x_p,y_p)</tex>. en vektor har lengden a, og en vilkårlig rettning. Vektoren ender i punktet S som har koordinatene (x,y). Dersom man holder vektoren fast i P og varierer rettningen ser man at S vil spore en sirkel med radius a og med sentrum i P.	+	Et punkt P har koordinatene <tex>(x_p,y_p)</tex>. en vektor har lengden a, og en vilkårlig rettning. Vektoren ender i punktet S som har koordinatene (x,y). Dersom man holder vektoren fast i P og varierer rettningen ser man at S vil spore en sirkel med radius a og med sentrum i P.<p></p>
		+	[[Fil:Sirklign.png]]<p></p>
		+
		+	Ved å anvende Pytagoras får man:<p></p>
		+	<tex> (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = a^2</tex>
		+
		+	Vektorregning gir:
		+	<p></p>
		+	<tex> \vec{PS} = [x-x_p , y-y_p]</tex>
		+	<p></p>
		+	Lengden av PS vektor er<p></p>
		+	<tex> \|\vec{PS}\| = \sqrt{(x-x_p)^2 +(y-y_p)^2} = a \\(\sqrt{(x-x_p)^2 +(y-y_p)^2})^2 = a^2 \\
		+	(x-x_p)^2 +(y-y_p)^2 = a^2 </tex><p></p>
		+	Som er likningen for en sirkel med radius a og sentrum i <tex>(x_p,y_p)</tex>

← Eldre revisjon		Revisjonen fra 15. mai 2012 kl. 12:40
Linje 1:		Linje 1:
−	Et punkt P har koordinatene <tex>(x_p,y_p)</tex>. en vektor har lengden a, og en vilkårlig rettning. Vektoren ender i punktet S som har koordinatene (x,y).	+	Et punkt P har koordinatene <tex>(x_p,y_p)</tex>. en vektor har lengden a, og en vilkårlig rettning. Vektoren ender i punktet S som har koordinatene (x,y). Dersom man holder vektoren fast i P og varierer rettningen ser man at S vil spore en sirkel med radius a og med sentrum i P.

@@ Linje 57: / Linje 57: @@
 *[[Lengden av vektorer]]
 *[[Skalarprodukt]]
 == Funksjoner ==

@@ Linje 74: / Linje 74: @@
 == Cevas setning ==
+[[Fil:Cevas.png]]
+<p></p>
 [[Kategori:Geometri]]

← Eldre revisjon		Revisjonen fra 15. mai 2012 kl. 10:32
(Én mellomrevisjon av én bruker vises ikke)
Linje 4:		Linje 4:
	<tex>PC \cdot PD = PB \cdot PA</tex><p></p>		<tex>PC \cdot PD = PB \cdot PA</tex><p></p>
	Dette produktet kalles '''punktets potens'''.		Dette produktet kalles '''punktets potens'''.
		+
		+
		+	[[Fil:Punktpotens2.png]]
		+	<p></p>
		+	Dersom en linje tangere sirkelpereferien, det er altså bare kontakt i ett punkt, gjelder setningen fortsatt:<p></p>
		+	<tex>(PA)^2 = PC \cdot PD</tex><p></p>

← Eldre revisjon		Revisjonen fra 15. mai 2012 kl. 10:24
(2 mellomrevisjoner av én bruker vises ikke)
Linje 1:		Linje 1:
−	[[Fil:Punktpotens.png]]	+	[[Fil:Punktpotens.png]]<p></p><p></p>
−	Et punkt P ligger utenfor sirkelen. To rette linjer krysser hverandre i P og skjærer sirkelpereferien i A, B, C og D.	+	Et punkt P ligger utenfor sirkelen. To rette linjer krysser hverandre i P og skjærer sirkelpereferien i A, B, C og D. Man har da:
		+	<p></p>
		+	<tex>PC \cdot PD = PB \cdot PA</tex><p></p>
		+	Dette produktet kalles '''punktets potens'''.

@@ Linje 73: / Linje 73: @@
 *[[Konstruksjon]]
 *[[Trekanter]]
 == Sannsynlighet ==

@@ Linje 6: / Linje 6: @@
-Parameterfremstilling er en måte å fremstille kurver på ved hjelp av en ”hjelpevariabel”. En parameter er en variabel. Parameterframstilling er nyttig i mange tilfeller, for eksempel dersom et objekt beveger seg som funksjon av tiden. Det er nødvendig å være fortrolig med vektorregning for å forstå leksjonen.
+Parameterfremstilling er en måte å fremstille kurver på ved hjelp av en ”hjelpevariabel”. En parameter er en variabel. Parameterframstilling er nyttig i mange tilfeller, for eksempel dersom et objekt beveger seg som funksjon av tiden. Det er nødvendig å være fortrolig med vektorregning.
-−
-−
-−
-−
-−
 == I planet ==
@@ Linje 41: / Linje 36: @@
 <p></p>
 som gir:<p></p>
-<tex> x = x_0 +t \\ y = y_0 + at </tex>
+<tex> \left [ x = x_0 +t \\ y = y_0 + at \right]</tex>
 <p></p>
 Som også kan skrives:<p></p>
-l:<tex>x = f(t) \\ y = g(t) </tex><p></p> på en mer generell form.
+l:<tex> \left [x = f(t) \\ y = g(t) \right]</tex><p></p> på en mer generell form.
@@ Linje 57: / Linje 52: @@
 Finn parameterframstillingen for linjen m som går gjennom punktet (2,1) og som er parallell med linjen y= 2x – 1
-LØSNING:
+Man får: m: [2,1] + s[1,2] som gir:<p></p> m:<tex>\left [x = 2+s \\ y = 1 + 2s \right ]</tex> <p></p> som er en parameterfremstilling for m, med s som parameter.
-−
 Man får: m: [2,1] + s[1,2] som gir: m: som er en parameterfremstilling for m, med s som parameter.
 </blockquote>
 <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
@@ Linje 70: / Linje 66: @@
 Finn parameterfremstillingen for en linje som går gjennom punktene (2,3) og (4, -2).
-LØSNING::
+'''LØSNING:'''
+<p></p>
-Rettningsvektor blir [4-2,-2-3] = [2,-5]. Velger [2,3] som  og får:
+Rettningsvektor blir [4-2,-2-3] = [2,-5]. Velger  [2,3] som <tex>\vec{OA}</tex> og får:<p></p>
-−
 </blockquote>
@@ Linje 80: / Linje 76: @@
 '''Eks. 3:'''
 <p></p>
-Finn parameterframstillingen for en linje m som står vinkelrett på linjen y = - 0,5x + 5 og som går gjennom punktet (-3/2, ¼).
+Finn parameterframstillingen for en linje m som står vinkelrett på linjen y = - 0,5x + 5 og som går gjennom punktet <tex> ( - \frac{3}{2}, \frac 14)</tex>.
@@ Linje 86: / Linje 82: @@
 LØSNING:
-En linje vinkelrett på y kan ha rettningsvektor [1,2]. Får da:
+En linje vinkelrett på y kan ha rettningsvektor [1,2]. <p></p>Man får:<p></p>
-m:
+m:  <tex> \left[ x= - \frac{3}{2} + s  \\ y= \frac 14 + 2s \right]</tex>
 </blockquote>
@@ Linje 94: / Linje 90: @@
 <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 '''Eks.4''' <p></p>
-[[Bilde:kartparam.png]]
+[[Bilde:kartparam.png]]<p></p>
-To båter, ”Frøya” og ”Hypatia,” starter samtidig. De følger kursene gitt ved parameterframstillingen:
+To båter, ”Frøya” og ”Hypatia,” har ved tiden t =0 posisjon og kurs som figuren over viser.
 Avstanden mellom båtene ved tiden t =0 er 7 nautiske mil. En nautisk mil er 1852 meter.
@@ Linje 113: / Linje 109: @@
-LØSNING:
+'''LØSNING:'''
 a) Man legger inn et koordinatsystem i kartet, for eksempel med origo i Hypatia, ved tiden t=0. Det gir følgende koordinater i startøyeblikket.
+<p></p>
-Hypatia ( 0,0)
+Hypatia ( 0,0)<p></p>
-Frøya (7,0)
+Frøya (7,0)<p></p>
-Lillevik (-1, -14)
+Lillevik (-1, -14)<p></p>
-Storevik (7, -11)
+Storevik (7, -11)<p></p>
 Kursene båtene følger på parameterform:
@@ Linje 127: / Linje 123: @@
 Frøya:
+<p></p>
 b) Når kursene krysses må begge x koordinater være like, og begge y koordinater være like:
+<p></p>
 t = 7 - 8s og -11t = -14 s
+<p></p>
 som gir S= 0,414 og t = 0,527
 Innsatt i en av parameterframstillingene gir det koordinatene til kryssningspunktet:
+<p></p>
 x = 3,69 og y = -5,80
 c) Siden båtene holder samme fart er det avstanden fram til kryssningspunktet som avgjør om de vil kolidere. Avstanden finne ved pytagoras:
+<p></p>
 Hypatia: 6,8 nautiske mil
@@ Linje 146: / Linje 142: @@
 Det vil være en avstand på ca. 0,1 nautisk mil, altså ca. 200 meter, noe som for større båter vil kunne skape en farlig situasjon. Frøya kommer først til punktet.
 </blockquote>
 [[Kategori:P]][[Kategori:R1]][[Kategori:Geometri]]

← Eldre revisjon		Revisjonen fra 10. mai 2012 kl. 15:56
Linje 17:		Linje 17:

	Det forhindrer selvsagt ikke at dere kan legge inn emner på andre fag, eller legge inn stoff som ikke har tilknyttning til skolefag, men dette er altså vår arbeidsliste.<br>		Det forhindrer selvsagt ikke at dere kan legge inn emner på andre fag, eller legge inn stoff som ikke har tilknyttning til skolefag, men dette er altså vår arbeidsliste.<br>
−	~~<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">~~
−
−	~~Dersom du har problemer med pålogging må du kontakte oss. Vi jobber med sikkerheten og håper å redusere spam.<br>~~
−
−
−
−	~~</blockquote>~~

@@ Linje 27: / Linje 27: @@
 Et hvilken som helst punkt på linjen l kan uttrykkes på denne måten, ved å variere t.
-.2.1. Parameterframstilling av en rett linje.
+== Parameterframstilling av en rett linje ==
-For å framstille en rett linje ved parameterframstilling trenger man et punkt på linja og retnigsvektoren. Begge deler er gitt dersom man kjenner to punkter på linjen, eller lgningen for linjen (to sider av samme sak). Siden en linje består av uendelig mange punkter og har uendelig mange retningsvektorer er det uendelig mange måter for parameterfremstillingen. Det er vanlig å velge punkt og vektor slik at fremstillingen blir enklest mulig. Poenget er at to tilsynelatende forskjellige fremstillinger kan begge være riktige.
+<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
+f(x) = ax + b<p></p>
+Rettningsvektor til f(x) er [1,a]<p></p>
-−
 f(x) = ax + b
-−
-−
-−
 Rettningsvektor til f(x) er [1,a]
-−
-−
-−
 Dersom f(x) går gjennom punktet <tex>(x_0,y_0)</tex> blir parameterframstillingen for linjen
+<p></p>
 l: <tex>[x_0,y_0] + t[1,a]</tex>
+<p></p>
-som gir:
+som gir:<p></p>
 <tex> x = x_0 +t \\ y = y_0 + at </tex>
+</blockquote>
-Eks. 1:
+<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
@@ Linje 65: / Linje 61: @@
 Man får: m: [2,1] + s[1,2] som gir: m: som er en parameterfremstilling for m, med s som parameter.
+'''Eks. 2:'''
+<p></p>
 Eks. 2:
-−
@@ Linje 76: / Linje 72: @@
 LØSNING::
 Rettningsvektor blir [4-2,-2-3] = [2,-5]. Velger [2,3] som  og får:
 Eks. 3:
 Finn parameterframstillingen for en linje m som står vinkelrett på linjen y = - 0,5x + 5 og som går gjennom punktet (-3/2, ¼).
@@ Linje 87: / Linje 89: @@
 m:
 Eks.4
 [[Bilde:kartparam.png]]
 To båter, ”Frøya” og ”Hypatia,” starter samtidig. De følger kursene gitt ved parameterframstillingen:
@@ Linje 139: / Linje 145: @@
 Det vil være en avstand på ca. 0,1 nautisk mil, altså ca. 200 meter, noe som for større båter vil kunne skape en farlig situasjon. Frøya kommer først til punktet.
+</blockquote>
 [[Kategori:P]][[Kategori:R1]][[Kategori:Geometri]]